Inequações do 2º grau

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Estudo do sinal da função quadrática

O estudo do sinal da função quadrática determina para quais valores de x (domínio da função) temos y (imagem da função) positivo, nulo e negativo, ou seja, f(x)>0, f(x)=0 e f(x)<0.

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Vértice da parábola

A função polinomial do 2º grau é uma função do tipo y = ax²+bx+c, seu gráfico é uma parábola e de acordo com o sinal de seu coeficiente “a” a parábola terá a concavidade voltada para cima ou para baixo.  O vértice da parábola é o ponto onde o gráfico da função do 2º grau muda de sentido. Quando a>0 a parábola tem concavidade voltada para cima, o vértice da parábola é o ponto em que a função assume o valor mínimo; quando a<0 a parábola tem concavidade voltada para baixo, o vértice da parábola é o ponto em que a função assume o valor máximo.

As coordenadas do vértice (x_v, y_v) são: x_v = -b/2a e y_v = -∆/4a.

a>0, a função assume seu menor valor no vértice da parábola.

a<0, a função assume seu maior valor no vértice da parábola.

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Zeros da função quadrática

As raízes ou zeros da função do 2º grau são os valores de x para os quais f(x) = 0, graficamente, os zeros da função correspondem às abscissas dos pontos em que o gráfico da função intersecta o eixo x.

Fórmula de Bhaskara

Para determinar as raízes da função quadrática pela fórmula resolutiva do 2º grau, também conhecida como fórmula de Bhaskara, fazemos ax²+bx+c = 0 e aplicamos os coeficientes a, b e c na fórmula.

Nessa fórmula, a letra grega ∆ (delta) é chamada de discriminante da equação e sempre terá um valor numérico do qual temos de extrair a raiz quadrada.

Diante disso temos três casos a considerar:

Se ∆>0, a equação tem duas raízes reais e distintas;

Se ∆=0, a equação tem duas raízes reais iguais;

Se ∆<0, a equação não possui raiz real.

Exemplo 1:

Resolva a equação:  x²-2x-15=0.

Fazendo ∆ = b²-4ac, temos:

∆ = ∆ = (-2)²-4.1.(-15) 

∆ = 4+60

∆ = 64 (∆>0; a equação tem duas raízes reais e distintas)

√∆ = √64

√∆ = ±8

Exemplo 2:

Encontre as raízes da equação x²+6x+9=0.

Fazendo ∆ = b²-4ac, temos:

∆ = 6²-4.1.9 

∆ = 36-36

∆ = 0 (∆=0; a equação tem duas raízes reais iguais)

x₁ = x₂ = -b/2a

x₁ = x₂ = -6/2.1

x₁ = x₂ = -3

S = {-3}

Pela fórmula resolutiva do 2º grau, temos:

∆ = 0

√∆ = √0

√∆ = ±0

Exemplo 3:

Resolva a equação x²+2x+2=0.

Fazendo ∆ = b²-4ac, temos:

∆ = ∆ = 2²-4.1.2

∆ = 4-8

∆ = -4 (∆<0; a equação não possui raízes reais)

√∆ = √-4 (não existe, em R, um número que elevado ao quadrado dê um número negativo)

S = { } 

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Gráfico da função do 2º grau

A função polinomial do 2º grau é uma função do tipo y = ax²+bx+c e seu gráfico é uma parábola.

Para construir o gráfico da função do 2º grau podemos fazer uma tabela com três colunas, na primeira coluna atribuímos alguns valores para x (domínio da função), na segunda coluna desenvolvemos os cálculos para encontrar os correspondentes em y (imagem da função), a terceira coluna é preenchida com os pares ordenados (x,y).

Exemplo 1: f(x) = x²+4x+4

Feito isso, marcamos os pontos no plano cartesiano.

Em seguida traçamos o gráfico passando pelas coordenadas (x,y).

Note que para a função  f(x) = x²+4x+4 o coeficiente a é maior que zero (a>0) e a parábola tem concavidade voltada para cima.

Exemplo 2: f(x)=-x²+4x+4

Agora marcamos os pontos no plano cartesiano.

E traçamos o gráfico passando pelas coordenadas (x,y).

Note que para a função  f(x) = -x²+4x+4 o coeficiente a é menor que zero (a<0) e a parábola tem concavidade voltada para baixo.

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Introdução à função do 2º grau

Uma função quadrática ou função polinomial do 2º grau é toda função cuja lei de formação é expressa por um polinômio de 2º grau, ou seja, em uma função quadrática o maior expoente na variável “x” é dois. Vejamos como se escreve, genericamente, uma função do 2º grau.

y = ax_­­­­²+bx¹+cx⁰ .Como x¹ = x e x⁰ = 1, ficamos com:

y = ax_­­­­²+bx+c.1. Como c.1 = c, a fórmula fica assim:

y = ax_­­­­²+bx+c

Definição:

Os números a, b e c são os coeficientes (ou parâmetros) da função, sendo que:

a é o coeficiente que acompanha x²;

b é o coeficiente que acompanha x e;

c é o coeficiente (ou termo) independente.

São exemplos de função do 2º grau:

Toda função em que o grau máximo na variável x é diferente de 2 não é função do 2º grau. Exemplos:

f) y = x⁴+2x², não é função quadrática, pois o grau máximo na varável x é 4

g) y = 7x+2, não é função quadrática pois o grau máximo na varável x é 1

h) y = 2^x+3, não é função quadrática pois a variável x está no expoente

i) y = x^-2+3x, não é função quadrática pois o grau máximo na varável x é -2

Para que serve a função do 2º grau.

Imaginemos uma situação em que o proprietário de uma casa, cuja área construída está representada na figura abaixo, queira construir uma varanda em dois lados consecutivos e que a varanda deve ter a mesma largura, qual será a área construída após essa ampliação?

Ilustração elaborada pelo autor

Podemos representar a área após a construção da varanda em função da medida x indicada. O comprimento será 20 metros mais x (20+x) e largura será 10 metros mais x (10+x). A nova área será dada pelo produto entre os dois polinômios.

f(x) = (20+x) (10+x) (fazemos o produto entre os dois polinômios)

f(x) = 200+20x+10x+x² (aplicamos a distributiva: 20.10+20x+10x+x.x)

f(x) = 200+30x+x² (juntamos os monômios semelhantes)

f(x) = x²+30x+ 200 (colocamos os monômios em ordem a partir do maior expoente)

f(x) = x²+30x+ 200 é a lei de formação da função que determina a área da casa após a ampliação.

Supondo que a largura x seja de dois metros, para sabermos a área após a ampliação basta substituir 2 em x na fórmula. A área (f) em função de x será:

f(2) = 2²+30.2+ 200

f(2) = 4+60+ 200

f(2) = 264 . A nova área, portanto, será: A = 264 m²

 

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